Інструкція до самостійної роботи № 5
Тема. Векторний добуток двох векторів та мішаний добуток трьох векторів та їх властивості.
Студенти повинні знати: поняття скаляра та вектора, скалярний добуток векторів та його властивості; модуль вектора, кут між векторами, вираження скалярного добутку у координатній формі; векторний добуток двох векторів та його властивості; мішаний добуток трьох векторів та його властивості.
Студенти повинні вміти: знаходити координати вектора, модуль вектора (відстань між двома точками простору), кут між векторами, користуватись геометричним змістом векторного та мішаного добутків векторів.
Основні поняття
- Визначення вектора.
- Модуль вектора. Відстань між двома точками простору.
- Скалярний добуток векторів та його властивості.
- Проекція вектора на вектор. Кут між векторами. Умова перпендикулярності векторів.
- Скалярний добуток векторів у координатній формі.
- Векторний добуток двох векторів, його властивості, геометричне тлумачення.
- Векторний добуток векторів у координатній формі.
- Мішаний добуток трьох векторів, його властивості.
- Мішаний добуток векторів у координатній формі.
- Умова компланарності трьох векторів.
- Умова розташування чотирьох точок в одній площині.
Завдання
Варіант № 1
Задані координати вершин піраміди A(1;-2;-3), B(0;-1;2), C(3;-4;5), D(-1;2;1).
Знайти:
- довжину ребра ВС;
- косинус кута між ребрами АВ і АС, ВС і ВD;
- площу граней АВС, ВСD;
- висоту грані АВС, яка проведена з вершини А;
- об`єм трикутної піраміди з вершинами у точках A,B,C,D;
- висоту трикутної піраміди, яка проведена з вершини С на грань ABD.
Контрольні запитання
- Що називається вектором?
- Виразіть відстань між двома точками простору через їх координати.
- Що називається скалярним добутком двох векторів?
- У чому полягає геометричний зміст скалярного добутку?
- Проекція вектора на вектор. Кут між векторами. Умова перпендикулярності векторів.
- Запишіть формулу скалярного добутку векторів, заданих координатами в прямокутній системі координат.
- Запишіть формулу для знаходження скалярного добутку векторів, якщо відомий кут між векторами.
- Що називається векторний добуток двох векторів?
- У чому полягає геометричний зміст векторного добутку?
- Запишіть формулу векторного добутку векторів, заданих координатами в прямокутній системі координат.
- Що називається мішаний добуток трьох векторів?
- У чому полягає геометричний зміст мішаного добутку трьох векторів?
- Запишіть формулу мішаного добутку векторів, заданих координатами в прямокутній системі координат.
- Сформулюйте умову компланарності трьох векторів.
- Сформулюйте умову розташування чотирьох точок в одній площині.