Тема. Визначений інтеграл, його властивості.

\(\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(x\left.)\right|_a^b=F(b)-F(a)\) - формула Ньютона-Лейбніца.

Приклад 1. Обчисліть \(\int_{-1}^{2}x^2dx\)

Розв'язання

Оскільки для х² однією із первісних є \(\frac{x^3}{3}\), то

\(\int_{-1}^{2}{x^2dx}=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-1}^2=\frac{2^3}{3}-\frac{(-1)^3}{3}=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}=3\).

Відповідь: 3.

Приклад 2. Обчисліть \(\int_{0}^{1}{(x-1)}dx\).

Розв'язання

\(\int_{0}^{1}{(x-1)dx}=\left.\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\right|_0^1=\left(\frac{1^2}{2}-1\right)-\left(\frac{0^2}{2}-0\right)=\frac{1}{2}-1-0=-\frac{1}{2}\)

Відповідь: \(-\frac{1}{2}\).

 

Приклад 3. Використовуючи метод внесення під знак диференціала, знайдіть інтеграли:

1) \({\int_{1}^{2}{(5x+1)^2dx=\frac{1}{5}\cdot\left.\frac{(5x+1)^3}{3}\right|}}_1^2=\frac{1}{15}\left(\left(5\cdot2+1\right)^3-\left(5\cdot1+1\right)^3\right)=\frac{1}{15}\left(11^2-6^2\right)=\frac{1}{15}\cdot1115=\frac{223}{3}=74\frac{1}{3}\)

2) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{cos{2}xdx=\left.\frac{1}{2}sin{2}x\right|_0^{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}sin{\frac{2\pi}{3}}-\frac{1}{2}sin{0}=\frac{1}{2}sin{\frac{2\pi}{3}}=\frac{1}{2}sin{\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}=}\frac{1}{2}sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{4}\)