Тема. Ймовірність добутку подій

 

Поняття незалежних подій та вивчення теореми про ймовірність добутку подій.

 

Дві події називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від того, відбулася друга подія чи ні.

 

 Приклад 1.  Монета кидається двічі. Ймовірність появи герба в першому випробуванні не залежить від появи чи непояви герба в другому випробуванні. В свою чергу, ймовірність появи герба в другому випробуванні не залежить від результатів першого випробування. Отже, події А — «поява герба в першому випробуванні» і Б — «поява герба в другому випробуванні» — незалежні.

 

 Приклад 2.  В урні 5 білих і 4 чорних кульки. Із неї навмання беруть кульку. Ймовірність появи білої кульки (подія А) дорівнює — 5. Взяту кульку повертають в урну і  продовжують випробування. Ймовірність появи білої кульки при другому випробуванні (подія Б), також дорівнює  - 5. В свою чергу, ймовірність витягти білу кульку при першому випробуванні, не залежить від другого випробування. Отже, події А і Б — незалежні.

 

Умовна ймовірність.

     Вище ми говорили, що в основі означення ймовірності випадкової події лежить сукупність деяких певних умов. Якщо ж ніяких інших обмежень, крім цих умов, при обчисленні ймовірності не накладається, то така ймовірність називається безумовною. Якщо ж поява деякої події  відбувається за умови, що відбулась інша подія , причому , то ймовірність появи події  називають умовною і обчислюють за формулою

                                      \(P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}\),   (\(P\left(B\right)>0\)).                                                 

    Деколи використовують таке позначення умовної ймовірності  \(P_B\left(A\right)\).

     

 Приклад 3.  Підкидають гральний кубик. Нехай подія \(A=\left(\omega_2,\omega_4,\omega_6\right)\) (випала парна кількість очок), подія \(B=\left(\omega_4,\omega_5,\omega_6\right)\) (випала кількість очок, більше трьох).  Між цими подіями є зв’язок. Дійсно,  зводиться до трьох елементарних подій: випало 4, 5, 6 очок. Якщо подія  наступила, то події  сприятимуть дві елементарні події: випало 4 або 6 очок.

           Отже, \(P(\frac{A}{B})=\frac{2}{3}\).

      Умовна ймовірність служить характеристикою залежності однієї події від іншої.

     Дві події А і В називаються  залежними, якщо \(P(\frac{A}{B})\neq P(A)\),                                                                      

        і незалежними, якщо \(P(\frac{A}{B})=P(A)\).                                                                     

                     

Теорема множення ймовірностей залежних подій.

Ймовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчисленої за умови, що перша відбулася

                                                                 \(P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(\frac{B}{A}\right)=P\left(B\right)P\left(\frac{A}{B}\right)\)                                    

       

 

Теорема множення ймовірностей незалежних подій.

     Ця теорема є наслідком попередньої. Дійсно, якщо А, В  - незалежні події, то, маємо   \(P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)\).                                                                

 

Задача 1.  Два мисливці стріляють одночасно в ціль і незалежно один від одного. Ймовірності влучення в ціль відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8. Знайдіть ймовірність того, що

а) обидва мисливці влучають у ціль;

б) лише один із мисливців влучить у ціль;

в) жодний із мисливців не влучить у ціль;

г) хоча б один із мисливців влучить у ціль.

 

Розв'язання

Подія А — «перший мисливець влучив у ціль», Р(А) = 0,7.

Подія В —«другий мисливець влучив у ціль», Р(В) = 0,8.

 

а) Подія С = А∙В — «обидва мисливці влучили у ціль», тоді

 Р(С) = Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В) = 0,7∙0,8 = 0,56.

 

б)  \(Н=А⋅\overline{В}+\overline{А}⋅В\) -  «лише один із мисливців влучив у ціль»,

тоді Р(Н) = Р(А)∙(1-Р(В)) + (1-Р(А))∙Р(В)

Р(Н)=0,7∙0,2+0,3∙0,8=0,36

 

в)  \(M=\overline{A}⋅\overline{B}\) - «жоден із мисливців не влучив у ціль», тоді

Р(М) = (1 - Р(А)) ∙ (1 - Р(В)) = (1 -0,7) ∙ (1 -0,8) = 0,3 ∙ 0,2 = 0,06.

 

 г)   Р - «хоча б один із мисливців влучить у ціль»

 

 Перший спосіб.

 Р(Р)  =  1 - Р(М) = 1 - 0,06 = 0,94.

 

Другий спосіб.

 \(Р=А⋅\overline{В}+\overline{А}⋅В+А⋅В\), тоді

 Р(Р)  = Р(А) ∙ (1-Р(В)) +(1-Р(А)) ∙ Р(В) +Р(А) ∙ Р(В)  =

 = 0,7∙(1-0,8)+ (1-0,7)∙0,8+ 0,7∙0,8 = 0,7∙0,2 +0,3∙0,8 + 0,56 = 0,14 + 0,24 + 0,56 = =0,94.

 

 Відповіді:  а) 0,56;    б) 0,38;     в) 0,06;     г) 0,94.

      

Теорема про ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій.

Під час розв'язування задач іноді доводиться визначати ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій А₁, А₂, ..., А_n, ймовірність яких відома.

 

Теорема. Якщо події А₁, A₂, А₃, ..., А_n ,— незалежні, то ймовірність здійснення принаймні однієї з них може бути виражена через ймовірність цих подій за фор­мулою     Р(А) = 1 – (1 – Р(А₁)) · (1 – Р(А₂)) · ... · (1 – Р(А_n)).

 

Наслідок. Якщо події А₁, A₂, A₃, ..., А_n мають однакову ймо­вірність р, то  ймовірність здійснення принаймні однієї із них Р(А)=1 – (1 – ρ)ⁿ.

 

 

Задача 2. Ймовірності попадання в ціль при стрільбі з трьох гармат відповідно дорівнюють 0,8; 0,7 і 0,9. Знайдіть ймовірність хоч би одного влучення при одному залпі з усіх гармат.

Розв'язання

Ймовірність влучення в ціль кожною із гармат не залежить від результатів стрільб з других гармат, тому події А₁ — «влу­чення першою гарматою», A₂ — «влучення другою гарматою»; А₃ — «влучення третьою гарматою» незалежні. Якщо А — «хоч би одне влучення», то

Р(А) = 1 - Р(\(\overline{A}_1\)) · Р(\(\overline{A}_2\)) · Р(\(\overline{A}_3\)) = 1 – (1 – Р(А₁))(1 – Р(А₂))(1 – Р(А₃)) =

= 1 – (1 – 0,8)(1 – 0,7)(1 – 0,9) = 1 – 0,2 · 0,3 · 0,1 = 0,994.

Відповідь: 0,994.