Тема заняття. Ймовірність суми подій

 

Теорема. Ймовірність суми двох несумісних подій А і В дорів­нює сумі ймовірностей цих подій:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

 

Приклад  В урні лежать 2 чорних, 3 червоних, 9 зелених, 6 синіх кульок. З неї навмання виймають одну кульку. Яка ймо­вірність того, що вона не чорна?

Розв'язання

Нехай подія А — «поява не чорної кульки»,

А₁ — «поява чорної кульки»,

A₂ — «поява червоної кульки»,

А₃ — «поява зеленої кульки»,

А₄ — «поява синьої кульки».

Тоді подія А настане тоді, коли відбудеться подія A₂ або А_3, або А₄. Тоді за правилом суми (сполука «або» вказує на правило суми) А = A₂ + А₃ + А₄, причому A₂, A₃, А₄ — несумісні.

 Ρ(Α₂) =\(\frac{3}{20}\) , P(A₃) =\(\frac{9}{20}\) , Ρ(Α₄) =\(\frac{6}{20}\) .

За теоремою ймовірності суми несумісних подій дістанемо:

Р(А) = Ρ(Α₂) + Ρ(Α₃) + P(A₄) =\(\frac{3}{20}\)+\(\frac{9}{20}\)+\(\frac{6}{20}\)=\(\frac{18}{20}\)=\(\frac{9}{10}\).

Відповідь: \(\frac{9}{10}\)·

 

З теореми про ймовірність суми несумісних подій виплива­ють два наслідки:

Наслідок 1. Сума ймовірностей подій А₁, А_{2, … ,} А_n, які утворю­ють повну групу і попарно несумісні, дорівнює одиниці:

Р(А₁) + Р(А₂) + ... + Р(А_n) = 1.

 

Подія \(\overline{A}\) називається протилежною події А, якщо вона відбувається тоді і тільки тоді, коли не відбувається подія А.

 

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1:

Р(А)+Р(\(\overline{A}\))=1.

 

Приклад  В коробці є 20 деталей, із яких 15 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 3 вибраних навмання деталей є хоч би одна стандартна.

Розв'язання

Подія А — «серед вибраних деталей є хоча б одна стандарт­на», вона відбудеться за настання однієї із наступних подій:

А₁ — «серед вибраних деталей одна стандартна»,

A₂ — «серед вибраних деталей дві стандартні»,

А₃ — «серед вибраних деталей три стандартні».

Але іноді зручніше знайти ймовірність протилежної події.

Подія \(\overline{A}\) — всі вибрані деталі нестандартні. (Це тільки одна подія на відміну від події А)

Згідно з на­слідком 2 маємо: Р(А) + Р(\(\overline{A}\)) = 1, звідси Р(А) = 1 – Р(\(\overline{A}\)).

Знайдемо Р(\(\overline{A}\)). Загальне число способів, якими можна виб­рати 3 деталі із 20 деталей, дорівнює n =\(C_{20}^3\). Число нестандарт­них деталей 20 – 15 = 5, із цього числа деталей можна m =\(C_5^3\)  способами вибрати 3 нестандартних деталі.

Отже,

\(Р(\overline{А})=\frac{m}{n}=\frac{С_5^3}{С_{20}^3}=\frac{5!}{3!⋅\left(5-3!\right)}:\frac{20!}{3!⋅\left(20-3!\right)}=\frac{5!}{3!⋅2!}⋅\frac{3!⋅17!}{20!}=\frac{5!}{2!}⋅\frac{17!}{20!}=\frac{5\cdot4\cdot3}{1}\cdot\frac{1}{20\cdot19\cdot18}=\frac{1}{114}\).

Шукана ймовірність Р(А) = 1 – Р(\(\overline{A}\)) = 1 – \(\frac{1}{114}\)  = \(\frac{113}{114}\).

Відповідь: \(\frac{113}{114}\) ·