Тема заняття. Диференціал функції та його застосування в наближених обчисленнях.
Із означення похідної\(\underset{\mathrm{\Delta x}\rightarrow0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta f}}{\mathrm{\Delta x}}=f^\prime(x)\) і границі змінної випливає, що \(\frac{\mathrm{\Delta f}}{\mathrm{\Delta x}}=f^\prime(x)+\alpha\), або \(\mathrm{\Delta f}=f^\prime(x)\cdot\mathrm{\Delta x}+\alpha\cdot\mathrm{\Delta x}\), де \(\alpha\rightarrow0\) при \(\Delta x\rightarrow0\).
Головна лінійна відносно приросту незалежної змінної частина приросту диференційовної функції називається її диференціалом і позначається символом \(dy\) або \(df\left(x\right)\).
Таким чином, за означенням \(df\left(x\right)=f^\prime\left(x\right)\cdot\Delta x\) або \(dy=y^\prime\cdot\Delta x\).
Оскільки \(dx=x^\prime\cdot\Delta x=1\cdot\Delta x=\Delta x\), то \(dy=y^\prime\cdot dx=f^\prime\left(x\right)dx\), звідки \(y^\prime=\frac{dy}{dx}=\frac{df\left(x\right)}{dx}\), тобто похідна функції в точці x дорівнює відношенню диференціала цієї функції в цій точці до диференціала аргументу.
Як бачимо, знаходження диференціала функції зводиться до знаходження її похідної.
Операція знаходження диференціала функції, як і операція знаходження похідної, називається диференціюванням цієї функції.
Геометричне тлумачення диференціала
Нехай функція y=f (x) диференційована в точці x. Тоді в точці (x; f(x)) графік функції матиме дотичну (див. рис.), нахилену до додатного напрямку осі Ox під кутом \(\alpha\), \(tg\alpha=f^\prime(x)\). 3 рисунку видно, що \(AB=MA\cdot tg\alpha=f^\prime\left(x\right)\cdot\Delta x=df\left(x\right)\), тобто диференціал функції в точці x дорівнює приросту ординати дотичної до кривої y=f (x) в точці x, коли незалежна змінна дістає приріст \(\mathrm{\Delta x}\).
Наближені обчислення за допомогою диференціалів
При досить малих значеннях \(\Delta x\)
\(\Delta y\approx dy\) або \(f\left(x+\Delta х\right)-f\left(x\right)\approx f^\prime\left(x\right)\cdot\Delta x\).
Оскільки в цій формулі точка x – фіксована, а набуває будь-яких досить малих значень, то її можна переписати у вигляді
\(f\left(x_0+\Delta х\right)\approx f\left(x_0\right)+f^\prime\left(x_0\right)\cdot\Delta x\), де \(\mathrm{\Delta x}=x-x_0\).
Цією формулою зручно користуватися тоді, коли відомо значення функції f (x) в точці x0 і треба знайти її значення в точці \(x_0+\Delta х\), де \(\Delta x\) досить мале.
Приклади.
- Знайти наближене значення виразу \(5,013^3\).
Розглянемо функцію \(f\left(x\right)=х^3\). Представимо дану степінь у вигляді \(\left(5+0,013\right)^3\). Прийнявши \(х_0=5\) і \(\mathrm{\Delta x}=0,013\), за формулою \(f\left(x_0+\Delta х\right)\approx f\left(x_0\right)+f^\prime\left(x_0\right)\cdot\Delta x\), знайдемо
\(f\left(5\right)=5^3=125\),
\(f^\prime\left(x\right)=3х^2\), \(f^\prime\left(5\right)=3\cdot5^2=75\).
Тоді, \(5,013^3=\left(5+0,013\right)^3\approx f\left(5\right)+f^\prime\left(5\right)\cdot0,013=125+75\cdot0,013=125,975\)
- Знайти наближене значення виразу \(\sqrt{99,5}\).
Розглянемо функцію \(f\left(x\right)=\sqrt{х}\). Представимо даний вираз у вигляді \(\sqrt{100-0,5}\). Прийнявши \(х_0=100\) і \(\mathrm{\Delta x}=-0,5\), за формулою \(f\left(x_0+\Delta х\right)\approx f\left(x_0\right)+f^\prime\left(x_0\right)\cdot\Delta x\), знайдемо
\(f\left(100\right)=\sqrt{100}=10\),
\(f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\), \(f^\prime\left(100\right)=\frac{1}{2\sqrt{100}}=\frac{1}{20}=0,05\).
Тоді, \(\sqrt{99,5}\approx f\left(100\right)+f^\prime\left(100\right)\cdot\left(-0,5\right)=10-0,05\cdot0,5=9,975\).