Вища математика

Тема заняття. Метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь.

 

Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гауса

Метод Гауса полягає у наступному: систему рівнянь зводять до рівносильної системи з трикутною матрицею (матриця, в якій усі елементи, що розміщені нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю). Такі дії називають прямим ходом. З отриманої матриці системи невідомі змінні визначають за допомогою послідовних підстановок (зворотний хід).

Для виконання прямого ходу здійснюють такі перетворення:

• множать або ділять коефіцієнти і вільні члени на одне й те саме число;
• додають і віднімають рівняння;
• переставляють рівняння системи;
• виключають із системи рівняння, в яких усі коефіцієнти при невідомих та вільні члени дорівнюють нулю.

За допомогою операцій 1) і 2) можна виключити будь-яке невідоме з усіх рівнянь системи, крім одного. При цьому невідоме, яке виключають, називають провідним невідомим, а рівняння, в якому зберігаються провідне невідоме, - провідним.

Приклад. Розв’язати методом Гауса систему лінійних рівнянь:

1. \(\left\{\begin{matrix}x-y+z=5,\\2x+y+z=6,\\x+y+2z=4.\\\end{matrix}\right.\)

За провідне рівняння виберемо перше рівняння, а за провідне невідоме виберемо х. Помножимо перше рівняння на -2, а потім на -1 і додамо до другого і третього рівнянь відповідно.

\(\left\{\begin{matrix}x-y+z=5,\\3y-z=-4,\\2y+z=-1.\\\end{matrix}\right.\)    \(\left\{\begin{matrix}x-y+z=5,\\y-\frac{1}{3}z=-\frac{4}{3},\\2y+z=-1.\\\end{matrix}\right.\)    \(\left\{\begin{matrix}x-y+z=5,\\y-\frac{1}{3}z=-\frac{4}{3},\\\frac{5}{3}z=\frac{5}{3}.\\\end{matrix}\right.\)

Виконуючи зворотний хід, за допомогою послідовних підстановок знаходимо

              \(\left\{\begin{matrix}x=y-z+5,\\y=\frac{1}{3}z-\frac{4}{3},\\z=1.\\\end{matrix}\right.\)                   \(\left\{\begin{matrix}x=3,\\y=-1,\\z=1.\\\end{matrix}\right.\)

Відповідь: (3;-1;1).

 

2. \(\left\{\begin{matrix}-2x_1+2x_2+x_3=1,\\-3x_1+3x_2=1,\\2x_1-x_2-5x_3=1.\\\end{matrix}\right.\)

За провідне рівняння виберемо перше рівняння, а за провідне невідоме виберемо х₁.

\(\left\{\begin{matrix}x_1-x_2-\frac{1}{2}x_3=-\frac{1}{2},\\-3x_1+3x_2=1,\\2x_1-x_2-5x_3=1.\\\end{matrix}\right.\)

Помножимо перше рівняння на 3, а потім на -2 і додамо до другого і третього рівнянь відповідно.

\(\left\{\begin{matrix}x_1-x_2-\frac{1}{2}x_3=-\frac{1}{2},\\-\frac{3}{2}x_3=-\frac{1}{2},\\x_2-4x_3=2.\\\end{matrix}\right.\)

Поміняємо місцями друге і третє рівняння

\(\left\{\begin{matrix}x_1-x_2-\frac{1}{2}x_3=-\frac{1}{2},\\x_2-4x_3=2,\\-\frac{3}{2}x_3=-\frac{1}{2}.\\\end{matrix}\right.\)

Виконуючи зворотний хід, за допомогою послідовних підстановок знаходимо

\(\left\{\begin{matrix}x_1=x_2+\frac{1}{2}x_3--\frac{1}{2},\\x_2=4x_3+2,\\x_3=\frac{1}{3}.\\\end{matrix}\right.\)          \(\left\{\begin{matrix}x_1=3,\\x_2=3\frac{1}{3},\\x_3=\frac{1}{3}.\\\end{matrix}\right.\)

Відповідь: (3; \(3\frac{1}{3}\);\(\frac{1}{3}\)).

 

3. \(\left\{\begin{matrix}x_1+5x_2+3x_3-4x_4=20,\\3x_1+x_2-2x_3=9,\\5x_1-7x_3+10x_4=-9,\\ 3x_2-5x_3=1.\\\end{matrix}\right.\) 

Виходячи з того, що елемент a₁₁ дорівнює одиниці, то для того, щоб виключити з другого, третього і четвертого рівнянь системи невідому х₁, достатньо від цих рівнянь відняти перше помножене на a₂₁, a₃₁, a₄₁ відповідно. В результаті отримаємо:

\(\left\{\begin{matrix}x_1+5x_2+3x_3-4x_4=20,\\-14x_2-11x_3+12x_4=-51,\\-32x_2-15x_3+30x_4=-109,\\ 3x_2-5x_3=1.\\\end{matrix}\right.\)

На наступному кроці, переходимо до виключення невідомої х₂ з третього і четвертого рівнянь системи. Для цього, коефіцієнти другого рівняння поділимо на a₂₂=-14, після чого, від третього рівняння віднімаємо друге помножене a₃₂ на  і від четвертого — друге помножене на a₄₂ . Після виконання даного кроку система набуде наступного вигляду:

\(\left\{\begin{matrix}x_1+5x_2+3x_3-4x_4=20,\\x_2+0,8x_3-0,8x_4=3,6,\\10,1x_3+2,6x_4=7,6,\\-7, 3x_3+2,6x_4=-10.\\\end{matrix}\right.\)

Далі, переходимо до виключення невідомої  х₃  з четвертого рівняння системи. Для цього, аналогічним чином, коефіцієнти третього рівняння ділимо на a₃₃=10,1 і від елементів четвертого рівняння віднімаємо елементи третього, помножені на a₄₃=-7,3:

\(\left\{\begin{matrix}x_1+5x_2+3x_3-4x_4=20,\\x_2+0,8x_3-0,8x_4=3,6,\\x_3+0,3x_4=0,7,\\4,4x_4=-4,4.\\\end{matrix}\right.\)

На останньому кроці, коефіцієнти четвертого рівняння розділимо на a₄₄=4,4:

\(\left\{\begin{matrix}x_1+5x_2+3x_3-4x_4=20,\\x_2+0,8x_3-0,8x_4=3,6,\\x_3+0,3x_4=0,7,\\x_4=-1.\\\end{matrix}\right.\)

З останнього рівняння системи отриманої після виконання знаходимо значення невідомої \(х_4=-1\). Підставляючи дане значення в третє рівняння отримуємо \(х_3=0,7+0,3=1\). Продовжуючи далі так звану «зворотню підстановку», отримаємо \(х_2=3,6-0,8-0,8=2\), \(х_1=20-10-3-4=3\).

Відповідь: (3;2;1;-1).