Тема заняття. Метод Крамера розв’язування систем лінійних рівнянь.
Системи лінійних рівнянь. Основні поняття
Система m лінійних рівнянь з n невідомими – це система вигляду
\(\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_{1,}\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_{2,}\\...\mathrm{\ \ ...\ \ ...\ \ }...\mathrm{\ \ ...\ \ ...\ \ }...\mathrm{\ \ ...\ \ ...\ \ }...\ \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_{m.}\\\end{matrix}\right.\)
Коефіцієнти \(a_{ij}\) при невідомих \(x_j\left(j=1,2,...,n\right)\) називаються коефіцієнтами системи і мають два індекси. Перший індекс вказує порядковий номер рівняння, в якому знаходиться цей коефіцієнт, другий індекс – номер невідомого, біля якого стоїть цей коефіцієнт. Величини \(b_i\left(i=1,2,...,m\right)\) називаються вільними членами.
Розв’язком системи називається сукупність чисел \(с1,с2,...,сn,\) яка, після підставляння в систему замість невідомих \(x_1,x_2,...,x_n,\) перетворює всі рівняння системи в рівності (тотожності).
Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розв’язок. Система, яка не має розв’язку, називається несумісною.
Сумісна система, яка має тільки один розв’язок, називається визначеною; система, що має більше, ніж один розв’язок – невизначеною.
Правило Крамера
Виведемо явні формули для розв’язання системи n лінійних рівнянь з n невідомими.
Нехай
\(\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_{1,}\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_{2,}\\...\mathrm{\ \ ...\ \ ...\ \ }...\mathrm{\ \ ...\ \ ...\ \ }...\mathrm{\ \ ...\ \ ...\ \ }...\ \\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_{n.}\\\end{matrix}\right.\) (1)
- система n лінійних рівнянь з n невідомими. Визначник основної матриці A системи (1) позначимо через \(\Delta\), тобто
\(\Delta=det{A}=\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\\end{matrix}\right|\) .
Замінимо у визначнику \(\Delta\) будь-який стовпець, наприклад i-й, стовпцем з вільних членів. Отриманий таким способом визначник будемо позначати через \(\Delta_i\), тобто
\(\Delta_i=\left|\begin{matrix}a_{11}...a_{1i-1}\\a_{21}...a_{2i-1}\\...\\a_{n1}...a_{ni-1}\\\end{matrix}\mathrm{\ \ \ \ \ } \begin{matrix}b_1\\b_2\\...\\b_n\\\end{matrix}\mathrm{\ \ \ \ \ } \begin{matrix}a_{1i+1}...a_{1n}\\a_{2i+1}...a_{2n}\\...\\a_{ni+1}...a_{nn}\\\end{matrix}\right|\).
Теорема (правило Крамера)
Якщо визначник основної матриці системи (1) відмінний від нуля, то система сумісна і має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами
\(x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta}\),\(i=1,2,...n\) . (2)
Формули (2) називаються формулами Крамера.
Приклад 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера:
\(\left\{\begin{matrix}x-y+z=5,\\2x+y+z=6,\\x+y+2z=4.\\\end{matrix}\right.\)
Визначник основної матриці цієї системи
\(\Delta=\left|\begin{matrix}1&-1&1\\2&1&1\\1&1&2\\\end{matrix}\right|=1\cdot\left(2-1\right)+1\cdot\left(4-1\right)+1\cdot\left(2-1\right)=1+3+1=5,\)
Обчислимо визначники \(\Delta_i\), які отримаємо із визначника \(\Delta\) системи, замінивши в ньому i-й стовпець стовпцем із вільних членів. Маємо:
\(Δх=\left|\begin{matrix}5&-1&1\\6&1&1\\4&1&2\\\end{matrix}\right|=5⋅2-1+1⋅12-4+1⋅6-4=5+8+2=15,\)
\(х=\frac{Δх}{Δ}=\frac{15}{5}=3,\)
\(Δу=\left|\begin{matrix}1&5&1\\2&6&1\\1&4&2\\\end{matrix}\right|=1⋅12-4-5⋅4-1+1⋅8-6=8-15+2=-5,\)
\(у=\frac{Δу}{Δ}=\frac{-5}{5}=-1,\)
\(\Delta_z=\left|\begin{matrix}1&-1&5\\2&1&6\\1&1&4\\\end{matrix}\right|=1\cdot\left(4-6\right)+1\cdot\left(8-6\right)+5\cdot\left(2-1\right)=-2+2+5=5,\)
\(z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{5}{5}=1.\)
Відповідь: (3;-1;1).
\(\left\{\begin{matrix}-2x_1+2х_2+х_3=1,\\-3x_1+3х_2=1,\\2x_1-х_2-5х_3=1.\\\end{matrix}\right.\)
Визначник основної матриці цієї системи
\(\Delta=\left|\begin{matrix}-2&2&1\\-3&3&0\\2&-1&-5\\\end{matrix}\right|=-2\cdot\left(-15-0\right)-2\cdot\left(15-0\right)+1\cdot\left(3-6\right)=30-30-3=-3\)
Обчислимо визначники \(\Delta_i\), які отримаємо із визначника \(\Delta\) системи, замінивши в ньому i-й стовпець стовпцем із вільних членів. Маємо:
\(\Delta_1=\left|\begin{matrix}1&2&1\\1&3&0\\1&-1&-5\\\end{matrix}\right|=1\cdot\left(-15-0\right)-2\cdot\left(-5-0\right)+1\cdot\left(-1-3\right)=-15+10-4=-9\)
\(х_1=\frac{Δ_1}{Δ}=\frac{-9}{-3}=3,\)
\(\Delta_2=\left|\begin{matrix}-2&1&1\\-3&1&0\\2&1&-5\\\end{matrix}\right|=-2\cdot\left(-5-0\right)-1\cdot\left(15-0\right)+1\cdot\left(-3-2\right)=10-15-5=-10,\)
\(х_2=\frac{Δ_2}{Δ}=\frac{-10}{-3}=3\frac{1}{3},\)
\(\Delta_3=\left|\begin{matrix}-2&2&1\\-3&3&1\\2&-1&1\\\end{matrix}\right|=-2\cdot\left(3+1\right)-2\cdot\left(-3-2\right)+1\cdot\left(3-6\right)=-8+10-3=-1,\)
\(х_3=\frac{Δ_3}{Δ}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}.\)
Відповідь: (3; \(3\frac{1}{3}\);\(\frac{1}{3}\)).