Тема. Незалежні повторні випробування. Схема Бернуллі
Взаємно незалежними називаються такі випробування, в яких ймовірність результату кожного з них не залежить від того, які результати має чи матиме решта випробувань.
Багато задач в теорії ймовірностей зводяться до такої схеми, яка називається схемою Бернуллі: відбувається n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А може настати чи не настати. Ймовірність здійснення події А в кожному випробуванні однакова і дорівнює р, а ймовірність нездійснення події А є q = 1 – p. Треба знайти ймовірність Рm, n того що подія А настане т разів в цих n випробуваннях.
Шукану ймовірність можна обчислити за формулою Бернуллі:
\(P_n(m)=C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n-m}\)
Приклад 1. Ймовірність того, що витрата електроенергії протягом доби не перевищує встановленої норми, дорівнює 0,75. Знайдіть ймовірність того, що в найближчі 6 діб витрати електроенергії впродовж 4 діб не перевищують норми.
Розв'язання
Ймовірність нормальної витрати електроенергії протягом кожних 6 діб постійна і дорівнює р = 0,75. Отже, ймовірність перевитрати електроенергії в кожну добу також постійні і дорівнюють q = 1 – р = 1 – 0,75 = 0,25.
Шукана ймовірність за формулою Бернуллі дорівнює
\(P_{4,6}=C_6^4p^4\cdot q^2=C_6^2p^4\cdot q^2=\frac{6\cdot 5}{1\cdot 2}\cdot(0,75)^4\cdot (0,25)^2=0,30\)
Відповідь: 0,30.
Приклад 2. Яка ймовірність того, що при десяти кидках грального кубика 3 очка випаде рівно 2 рази?
Розв'язання
В цій задачі n = 10, m = 2, ρ = \(\frac{1}{6}\), q = 1 – p = 1 - \(\frac{1}{6}\)=\(\frac{5}{6}\) і тоді
\(P_{2,10}=C_{10}^2p^2\cdot q^8=\frac{10\cdot 9}{1\cdot 2}\cdot(\frac{1}{6})^6\cdot (\frac{5}{6})^8\approx 0,29\)
Відповідь: 0,29.
Ймовірність того, що в n випробуваннях подія настане: а) менше m разів; б)більше m разів; в) не менше m разів; г) не більше m разів, знаходять відповідно за формулами:
