Тема заняття. Дослідження функції із застосуванням похідної.
Екстремуми функції. Необхідні умови існування екстремуму
Означення 1. Точка х0 з області визначення \(f(x)\) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий \(\delta\) - окіл \((x_0-\delta;x_0+\delta)\) точки х0, що для всіх х¹х0 з \(\delta\) - околу виконується нерівність \(f(x)\)>\(f(x_0)\).
Означення 2. Точка х0 з області визначення функції \(f(x)\) називається точкою максимуму цієї функції, якщо існує такий \(\delta\) - окіл \((x_0-\delta;x_0+\delta)\) точки х0, що для всіх \(x\neq x_0\) з \(\delta\) -околу виконується нерівність \(f(x)\) < \(f(x_0)\).
Точки максимуму і мінімуму функції \(f(x)\) називаються точками екстремуму даної функції, а значення функції \(f(x)\) в точках максимуму і мінімуму називають максимумом і мінімумом функції або екстремумами функції.
Необхідна умова існування екстремуму.
Теорема Ферма. Якщо точка х0 є точкою екстремуму функції \(у=f(x)\), визначеної в деякому околі точки х0, і в цій точці існує похідна \(f^\prime(x_0)\), то вона дорівнює нулю:\(f^\prime(x_0)\) =0.
Зауваження. В теоремі Ферма встановлено лише необхідну умову існування екстремуму. Ця умова дає змогу лише виділити точки, в яких функція може мати екстремум. Це означає, що не будь-яка критична точка буде екстремальною. Наприклад, функція \(f(x)=х^3\) має в точці х=0 похідну, що дорівнює нулю, але для цієї функції точка х=0 не буде екстремальною.
Достатні умови екстремуму функції
Теорема. Нехай функція \(f(x)\) неперервна в точці х0 і в її \(\delta\) - околі має похідні, крім, можливо, самої точки х0. Тоді
а)якщо похідна \(f^\prime(x)\) при переході через точку х0 змінює знак з плюса на мінус, то точка х0 є точкою максимуму функції \(f(x)\);
б) якщо похідна \(f^\prime(x)\) при переході через точку х0 змінює знак з мінуса на плюс, то точка х0 є точкою мінімуму функції \(f(x)\);
в) якщо існує окіл \((x_0-\delta;x_0+\delta)\) точки х0, в якому похідна \(f^\prime(x)\) зберігає свій знак, то в точці х0 задана функція \(f(x)\) екстремуму не має.
Правило знаходження екстремумів функції.
Нехай \(f(x)\) визначена і неперервна в деякому інтервалі (a;b), має похідну всюди на інтервалі (a;b), крім, можливо, скінченного числа стаціонарних точок. Тоді для знаходження екстремумів функції потрібно:
- Знайти критичні точки функції \(f(x)\), тобто внутрішні точки області визначення функції, в яких або \(f^\prime(x)=0\), або \(f^\prime(x)\) не існує.
- Дослідити знак похідної \(f^\prime(x)\) в деякому \(\delta\) - околі кожної критичної точки. Якщо \(f^\prime(x)\) змінює знак при переході через таку точку, то функція \(f(x)\) в цій точці має екстремум. А саме, якщо знак змінюється з мінуса на плюс, то в цій точці мінімум; якщо з плюса на мінус, то в цій точці максимум. Якщо ж знак \(f^\prime(x)\) не змінюється при переході через задану точку, то функція \(f(x)\) не має екстремуму в цій точці.
