Тема заняття. Визначники, властивості визначників і способи обчислення
1. Поняття про матрицю
Таблицю чисел вигляду
\(\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\\\end{matrix}\right)\),
яка складається з m рядків та n стовпців, називають матрицею. Числа називають елементами матриці. Для будь-якого елемента перший індекс і означає номер рядка, а другий індекс k – номер стовпця.
Якщо число рядків матриці не дорівнює числу стовпців (\(m\neq n\)), то матрицю називають прямокутною. Якщо число рядків дорівнює числу стовпців, то таку матрицю називають квадратною. Наприклад, квадратними є матриці
\(A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)\) ,\(B=\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{matrix}\right)\) .
Число рядків або стовпців квадратної матриці визначає її порядок. Тому порядок матриці А дорівнює 2, а порядок матриці В дорівнює 3.
Діагональ, яка містить елементи \(a_{11},a_{22},...,a_{nn}\), називається головною діагоналлю матриці, а діагональ, яка містить елементи \(a_{1n},a_{2n-1},...,a_{n1}\), називається побічною.
Якщо \(m>1\) і \(n=1\), то маємо матрицю
\(A=\left(\begin{matrix}a_{11}\\a_{21}\\...\\a_{m1}\\\end{matrix}\right)\),
яку називають матрицею-стовпцем.
2. Визначник матриці. Обчислення визначників другого і третього порядку
Нехай маємо квадратну матрицю другого порядку
\(A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)\).
Визначником (детермінантом) другого порядку, який відповідає матриці А , називається число \(a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}\).
Визначник другого порядку позначають так:
\(det{A}=\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right|\), або коротко \(\Delta\).
Таким чином,
\(\Delta=\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}\). (1)
Приклад 1. Обчислити визначник другого порядку:
а) \(\left|\begin{matrix}2&5\\-3&-4\\\end{matrix}\right|\); б) \(\left|\begin{matrix}-1&4\\5&2\\\end{matrix}\right|\).
За формулою (1) знаходимо:
а) \(\left|\begin{matrix}2&5\\-3&-4\\\end{matrix}\right|=2\cdot\left(-4\right)-\left(-3\right)\cdot5=-8+15=7\);
б) \(\left|\begin{matrix}2&5\\-3&-4\\\end{matrix}\right|=2\cdot\left(-4\right)-\left(-3\right)\cdot5=-8+15=7\).
Нехай маємо квадратну матрицю третього порядку
\(A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right)\).
Визначником (детермінантом) третього порядку, який відповідає матриці A , називається число, яке обчислюється за формулою\(\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right|=a_{11}\cdot\left|\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right|-a_{12}\cdot\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\\\end{matrix}\right|+a_{13}\cdot\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{matrix}\right|\)
Визначник третього порядку позначають так:
\(det{A}=\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right|\), або коротко \(\Delta\).
Таким чином,
\(\Delta=\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right|=a_{11}\cdot\left|\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right|-a_{12}\cdot\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\\\end{matrix}\right|+a_{13}\cdot\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{matrix}\right|\). (2)