Дискретна випадкова величина
Випадковою величиною називається така величина, яка в результаті спроби може прийняти те або інше заздалегідь невідоме значення.
Приклад випадкової величини:
- число пасажирів в автобусі міського маршруту;
- поточне значення напруги в побутовій електричній мережі.
Дискретною випадковою величиною називається така величина, різні значення якої можна заздалегідь перерахувати. Кількість значень дискретної випадкової величини може бути кінцевою, наприклад, число пасажирів у вагоні метро, або зчисленою, наприклад, кількість крапель дощу, що впали на дах дому за останні 50 років.
Позначимо:
1) дискретну випадкову величину – символом ξ ;
2) повний перелік її значень – символами хi (i = 1, 2,... , n);
3) ймовірність того, що в результаті спроби випадкова величина ξ набуде одне зі своїх значень (ξ = xi ) – символом pi = P (ξ = xi).
Події ξ = xi (i = 1,2, ..., n) складають повну групу подій, тому доданок ймовірностей цих подій дорівнює одиниці:
\(\sum_{i=1}^np_i=1\) (1 )
Рівність (1) називають умовою нормування ймовірностей подій повної групи.
Ця сумарна величина (1), що дорівнює одиниці, якось розподіляється між ймовірностями окремих значень (хi) випадкової величини ξ .
Законом розподілу випадкової величини ξ називається будь-яке співвідношення, що встановлює зв’язок між можливими значеннями (хi) випадкової величини ξ і відповідними їм ймовірностями pi = P (ξ = хi). Такий закон (див. табл. 1, 2, рис. 1) задає повний ймовірністний опис випадкової величини ξ.
|
Таблиця 1 |
|
|
|
|
||||
|
ξ |
x1 |
x2 |
¼ |
xn |
|
|
|
|
|
pi |
p1 |
p2 |
¼ |
pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 2 |
||||||||
|
ξ |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
pi |
0,2 |
0,05 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
0,05 |
0,1 |
Рядом розподілу дискретної випадкової величини ξ називається табличне завдання її закону розподілу (див. табл.1).
Багатокутником розподілу називається графічне зображення (див. рис. 1) ряду розподілу випадкової величини ξ у прямокутній системі координат (хi, pi).
Числові характеристики дискретної випадкової величини
1. Математичне сподівання
При розв’язанні багатьох задач теорії ймовірностей немає необхідності знаходити закон розподілу випадкової величини повністю, часто виявляється достатнім визначити тільки деякі параметри цього закону, які називаються числовими характеристиками.
Найбільш важливими з них є математичне сподівання, яке характеризує середнє значення випадкової величини, і дисперсія, яка характеризує розмір можливого відхилення (розкиду) значень випадкової величини від свого математичного сподівання. Зупинимося на цих характеристиках.
Математичним сподіванням (позначається M [ξ] = Mξ = mξ) дискретної випадкової величини ξ називається сума добутків усіх можливих значень випадкової величини ξ на ймовірності цих значень:
\(M[\xi]=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i\). (2)
Приклад. Знайти математичне сподівання випадкової величини ξ, закон розподілу якої заданий у табл. 3.
|
Таблиця 3 |
|||||
|
xi |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
|
pi |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
Розв’язання. За формулою (2) знаходимо:
M [ξ] = – 2 ∙ 0,3 + (– 1 ∙ 0,2) + 0 ∙ 0,1 + 1 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,1 =
= – 0,6 – 0,2 + 0 + 0,3 + 0,2 = – 0,3.
Властивості математичного сподівання випадкової величини
Розглянемо властивості математичного сподівання на прикладі дискретної випадкової величини ξ .
Математичне сподівання невипадкової величини С дорівнює самій цій величині. Вважаючи ймовірність цього значення (Рс = 1) рівною одиниці, тому знаходимо:
М [C] = C × Рс = C × 1= C.
- Математичне сподівання від добутку невипадкової величини С на випадкову ξ дорівнює добутку невипадкової величини на математичне сподівання випадкової величини, тобто постійний множник С можна виносити за знак математичного сподівання:
\(M[c\xi]=\sum_{i=1}^nc⋅x_i⋅p_i = c⋅\sum_{i=1}^nx_i⋅p_i =c⋅M[ξ]\).
- Математичне сподівання суми випадкових величин ξ і γ дорівнює сумі їх математичних сподівань:
M [ξ + γ] = M [ξ] + M [γ] .
- Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин ξ і γ дорівнює добутку їх математичних сподівань:
M[ξ ∙ γ] = M[ξ] × M[γ].
2. Дисперсія випадкової величини
Для оцінки розкиду значень випадкової величини відносно свого математичного сподівання використовують поняття “дисперсія”.
Дисперсією випадкової величини ξ (позначають D[ξ] = Dξ ) називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання:
D [ξ] = M [(ξ – mξ )2] . (3)
Проте для розрахунків більш зручне інше зображення дисперсії:
D [ξ] = M [ξ 2] – M [ξ]2.
Дисперсія має розмірність квадрата розмірності випадкової величини, що утрудняє її безпосереднє використання для оцінок. Тому для наочної оцінки величини розкиду значень випадкової величини з дисперсії добувають квадратний корінь. Отримана характеристика називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини ξ (синоніми – CKВ, стандартне відхилення; позначають σ [ξ] = σ ξ ):
\(\sigma[\xi]=\sqrt{D[\xi]}\)
Приклад. Знайти математичне сподівання (M [ξ]) і дисперсію (D[ξ]) дискретної випадкової величини ξ – числа появ події A (виявлення порушення при перевірці водія інспектором ДАІ) в одній спробі, якщо ймовірність появи події дорівнює p (ймовірність непояви q = 1– p).
Розв’язання. Закон розподілу ймовірностей числа появ події A в одній спробі задається в табл. 4.
|
Таблица 4 |
|
|
|
Тоді математичне сподівання випадкової величини ξ знайдеться: M [ξ] = 0 ∙ q + 1∙ p = p. |
||
|
xi |
0 |
1 |
|
|
||
|
pi |
q |
p |
|
|
||
M [ξ2] = 02 ∙ q + 12∙ p = p.
Дисперсію D [ξ] випадкової величини ξ в одній спробі знаходимо:
D [ξ] = M [ξ 2] – M [ξ]2.
D [ξ] = р – р2 = р ( 1 – р ) = р ∙ q
Отже, математичне сподівання числа появ події A в одній спробі дорівнює ймовірності p появи цієї події, а дисперсія дорівнює добутку ймовірності появи цієї події (p) на ймовірність її непояви (q).
Максимального значення (D [ξ] = 0,25) дисперсія досягає в умовах максимальної невизначеності наслідків випробувань, тобто при p = q = 0,5.
Отже, значення дисперсії може бути характеристикою ступеня невизначеності очікуваних результатів спроби.
Властивості дисперсії випадкової величини
- Дисперсія невипадкової величини С дорівнює нулю.
D [C] = M [(C – mc)2] = M [(C – C)2] = M [(0)2] = 0 .
- Дисперсія від добутку невипадкової величини С на випадкову величину ξ дорівнює добутку квадрата невипадкової величини (С2 ) на дисперсію випадкової величини ξ . Іншими словами, постійний множник С можна виносити за знак дисперсії, якщо піднести цей множник у квадрат:
D [C ∙ ξ] = C 2 ∙ D [ξ] .
- Дисперсія суми (різниці) двох незалежних випадкових величин ξ і γ дорівнює сумі їх дисперсій:
D [ξ ± γ] = D [ξ] + D [γ].
Приклад. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини, заданої законом розподілу (див. табл. 5):
|
Таблиця 5 |
|||
|
xi |
–2 |
0 |
1 |
|
pi |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
Розв’язання. Математичне сподівання обчисляємо за формулою:
\(M[\xi] = \sum^n_{i=1}x_i\cdot p_i\) M[ξ] = – 2 ∙ 0,2 + 0 ∙ 0,3 + 1 ∙ 0,5 = – 0,4 + 0,5 = 0,1.
Для обчислення дисперсії скористаємося властивістю:
D [ξ] = M [ξ 2] – M [ξ]2.
Із цією метою попередньо знайдемо M [ξ 2]:
M [ξ 2] = (– 2)2 ∙ 0,2 + (0)2 ∙ 0,3 + (1)2 ∙ 0,5 = 0,8 + 0,5 = 1,3.
Тоді дисперсія знайдеться:
D [ξ] = M [ξ 2] – M [ξ]2 = 1,3 – (0,1)2 = 1,29.
Середнє квадратичне відхилення обчисляємо за формулою:
\(\sigma[\xi]=D [ξ ]=\sqrt{1,29}=1,14\).