Тема заняття. Випадковий дослід і випадкова подія. Ймовірність.

 

Теорія ймовірностей як самостійна наука виникла в середині XVII століття. Тоді були дуже поширені азартні ігри, тобто ігри, в яких результат залежить лише від випадку. До таких ігор належать ігри з кубиками, гра в «орлянку», деякі карточні ігри. Б. Паскаль і П. Ферма в листуванні з приводу задач, які виник­ли в зв'язку з азартними іграми, запровадили поняття ймовір­ності. Для розв'язання таких задач існуючий тоді математич­ний апарат виявився недостатнім, і було закладено основи нової науки. Нині теорія ймовірностей широко застосовується в фізиці і в біології, у техніці, в різних галузях народного господарства.

Згадаємо первісні поняття теорії ймовірності.

Подія — це явище, про яке можна сказати, що воно відбу­вається чи не відбувається за певних умов.

Події позначаються великими буквами латинського алфавіту: А, В, С... Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування (експерименту, досліду).

Випробування — це умови, в результаті яких відбувається (чи не відбувається) подія.

Наприклад, випробування — підкидання монети, події: А — «поява герба», В — «поява цифри»; випробування — підкидан­ня кубика, події: А — «поява 1 очка», В — «поява 2 очок», С — «поява 3 очок», D — «поява 4 очок», Е — «поява 5 очок»,G — «поява 6 очок».

 

 Випадковою подією називається подія, яка може відбутися або не відбутися під час здійснення певного випробування.

Наприклад: під час витягування навмання однієї карти з ко­лоди ви взяли короля. Подія А — «взято короля» є випадковою.

Випадкові події можуть бути масовими та одиничними.

Масовими називають однорідні події, що спостерігаються за певних умов, які можуть бути відтворені (можна спостерігати) необмежену кількість разів.

Наприклад, влучення або промах в серії пострілів; поява бра­кованих деталей при серійному випуску; радіоактивний розпад атомів речовин і т. д.

Прикладом одиничної випадкової події є падіння Тунгусько­го метеорита.

Теорія ймовірностей вивчає лише масові випадкові величини.

Вірогідною називається подія, яка внаслідок даного випробуван­ня обов'язково відбудеться.

Наприклад, подія А — «поява на одній із граней грального кубика натурального числа, меншого за 7» — є вірогідною.

Неможливою називається така подія, яка внаслідок даного вип­робування не може відбутися.

Наприклад, подія А — «поява на одній із граней грального кубика цифри 7».

 

Повною групою подій називається множина подій таких, що в результаті кожного випробування обов'язково повинна відбути­ся хоча б одна із них.

Наприклад: у випробуванні — кидання грального кубика по­вну групу подій становлять події:

А1 — «поява числа 1»;

А2 — «поява числа 2»;

А3 — «поява числа 3»;

А4 — «поява числа 4»;

А5 — «поява числа 5»;

A6 — «поява числа 6»,

або події:

В1 — «поява парного числа»;

В2 — «поява непарного числа».

 

 Попарно несумісні події — це події, дві з яких не можуть відбу­ватися разом.

 

Наприклад, попадання і промах при одному пострілі — це дві несумісні події; поява цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при одному киданні грального кубика — це шість несумісних подій.

 

Рівноможливі події — це такі події, кожна з яких не має ніяких переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробу­вань, що проводяться за однакових умов.

Наприклад, поява цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при киданні грального кубика — рівноможливі події.

 

Якщо події:

1) утворюють повну групу подій;

2) є несумісними;

3) є рівноможливими, то такі події утворюють простір елементарних подій.

 

Розглянемо випробування — кидання грального кубика; прос­тір елементарних подій складається із подій:

А1 — «поява числа 1»;

А2 — «поява числа 2»;

А3 — «поява числа З»;

А4 — «поява числа 4»;

А5  — «поява числа 5»;

А6 — «поява числа 6».

Розглянемо подію А — «випало парне число». Події А сприя­ють елементарні події: A2, А4, A6.

 

Відношення числа подій, які сприяють події А, до загальної кількості подій простору елементарних подій називається ймо­вірністю випадкової події А і позначається Р(А).

В наведеному прикладі Р(А) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\).

Отже,         Р(А) = \(\frac{m}{n}\),         де

А — подія,           

Р(А) — ймовірність події;

n — загальна кількість подій простору елементарних подій;

т — число подій, які сприяють події А.

Це, нагадую, класичне означення ймовірності було запроваджено зас­новниками теорії ймовірностей Б. Паскалем і П. Ферма. Ймо­вірність вірогідної події дорівнює 1. Ймовірність неможливої події дорівнює 0.

 

Приклад   Знайти ймовірність того, що при киданні двох мо­нет випаде два герба.

Розв'язання

Нехай подія А — «випало два герба».

Простір елементарних подій складається з чотирьох подій:

А1 — «випало два герба»; A2 — «випали герб та число»; А3 — «випали число та герб»; А4 — «випали два числа».

Події А сприяє лише подія А1.

Отже, m = 1, n = 4 і тоді

P(A)=\(\frac{m}{n}=\frac{1}{4}\).

Відповідь:\(\frac{1}{4}\).

 

Виконання вправ   

  1. В скриньці а білих і b чорних кульок. Із скриньки навмання виймається одна кулька. Знайти ймовірність того, що ця кулька біла.

Відповідь: \(\frac{a}{a+b}\)·

  1. Гральний кубик кидається один раз. Знайти ймовірність та­ких подій:

А — «поява непарного числа очок»;

В — «поява не менше 5 очок»;

С — «поява не більше 5 очок».

Відповіді: Р(А) =\(\frac{1}{2}\);   Р(В)=\(\frac{1}{3}\);  Р(С) =\(\frac{5}{6}\).

  1. Кидаються одночасно два гральних кубика. Знайти ймовір­ність таких подій:

А — «сума очок, що випали, дорівнює 8»;

В — «добуток очок, що випали, дорівнює 8»;

С — «сума очок, що випали, більша ніж їх добуток».

Відповіді: Р(А) =\(\frac{5}{36}\);  Р(В) =\(\frac{1}{18}\);  Р(С) =\(\frac{11}{36}\).

  1. Кидаються дві монети. Яка із подій більш ймовірніша:

А — «монети ляжуть однаковими сторонами»;

В — «монети ляжуть різними сторонами»?

Відповідь: Р(А) = Р(В) =\(\frac{5}{36}\).

  1. Кидають три монети. Яка ймовірність таких подій: А — «гербів більше, ніж цифр»; В — «випало рівно дві цифри»; С — «три монети випали однаковими сторонами»; D — «гербів не більше одного».

Відповіді: Р(А) =\(\frac{1}{2}\);  Р(B) =\(\frac{5}{36}\);   Р(С) =\(\frac{1}{4}\);   P(D) =\(\frac{1}{2}\).