Статистика – наука, що збирає, обробляє і вивчає різні дані, пов’язані з різними масовими явищами, процесами, подіями.

Найпоширенішим серед видів статистичних спостережень є вибіркове спостереження. У процесі вибіркового спостереження вивчається лише частина сукупності, відібрана спеціальним методом, яка називається вибіркою. Всю сукупність, з якої роблять вибірку називають генеральною сукупністю. Число об’єктів генеральної сукупності і вибірки називають відповідно обсягом генеральної сукупності і обсягом вибірки.

Приклад 1. Якщо із 1000 деталей відібрано для обстеження 100 деталей, то обсяг генеральної сукупності N = 1000, а обсяг вибірки n = 100.

Приклад 2. Якщо із усіх 20 млн працюючих в Україні об’єктом дослідження економісти вибрали 1000 чоловік, то обсяг генеральної сукупності N = 20 млн чоловік, а обсяг вибірки n = 1000 чоловік.

У результаті статистичного спостереження отримують матеріал, який характеризує окремі елементи сукупності. Після зведення і групування  статистичних даних для найбільш раціонального та наукового вигляду їх результатів використовують статистичні таблиці.

У математичній статистиці замість слова “дані” використовується термін “варіанти”. Числову характеристику варіанти при цьому називають ознакою. Варіанти, що записані в таблиці за зростаючим (спадаючим) порядком, називають варіаційним рядом.

Нехай вибіркові дані містять m варіант х1, х2, ..., хm, причому деяка ознака Х прийняла значення х1  n1 раз, значення х2  n2 раз, ..., хm   m раз. Додатнє число, яке вказує, скільки разів та чи інша варіанта зустрічається, називається частотою.

Таблиця яка встановлює зв’язок між рядом варіант і відповідними частотами називається частотною (таблицею), або статистичним розподілом.

Таблиця

хі

х1

х2

…

xm

ni

n1

n2

…

nm

Тут N – обсяг вибірки:  N=n1+n2+…+nm.

Задача1. Виробникам треба знати, скільки одягу треба випускати того чи іншого розміру. Опитали 50 жінок, розміри їх одягу такі: 44, 50, 48, 48, 52, 50, 52, 48, 46, 50, 50, 52, 54, 46, 48, 48, 54, 52, 46, 50, 52, 48, 46, 50, 52, 50, 48, 50, 54, 48, 48, 50, 52, 46, 52, 56, 50, 44, 56, 50, 52, 48, 56, 54, 46, 54, 50, 56, 54, 50. Скласти частотну таблицю.

Відповідь:

Розміри одягу

44

46

48

50

52

54

56

Кількість жінок

2

6

10

13

9

6

4

 

Нехай із генеральної сукупності зроблено вибірку, причому х1 спостерігалось n1 раз, х2 – n2 раз, х3 – n3 раз, ... , хm – nm і n1+n2+…+nm=N – обсяг вибірки.

Значення х1, х2, ... , хm називаються варіантами. Числа спостережень n1, n2, …, nm називають частотами, а їх відношення до обсягу вибірки \(\frac{n_1}{N}=p_1\); \(\frac{n_2}{N}=p_2\); ..., \(\frac{n_m}{N}=p_m\)- відносними частотами. Відзначимо, що сума відносних частот дорівнює одиниці:

\(p_1+p_2+...+p_m=\frac{n_1}{N}+\frac{n_2}{N}+...+\frac{n_m}{N}=\frac{n_1+n_2+...+n_m}{N}=\frac{N}{N}=1\).

Статистичним рядом розподілу вибірки називається перелік варіант і відповідних їм частот або відносних частот.

Статистичний розподіл можна задати у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот.

Задача 2. Перейти від частот до відносних частот у такому розподілі вибірки обсягом N = 20.

Варіанта хі

2

6

12

Частота ni

3

10

7

 

Для графічного зображення статистичного розподілу використовуються полігони і гістограми.

Для побудови полігона на осі Ох відкладають значення варіант хі, на осі ординат – значення частот ni.

Точки (хі; ni) з’єднують відрізками прямих і одержують полігон частот.

Задача 3. Побудувати полігон частот та полігон відносних частот статистичного розподілу з задачі 2.

На рис.1 побудовано полігон частот, а на рис.2 – полігон відносних частот.

У випадку інтервального розподілу доцільно будувати гістограму, для чого інтервал, в якому знаходяться всі значення ознаки, яка спостерігається, розбивають на декілька інтервалів довжиною h й знаходять для кожного інтервалу n1 – суму частот варіант, які попали в і-ий інтервал.

Гістограмою частот називають східчасту фігуру, яка складається з прямокутників, основами яких є інтервали довжиною h, а висота дорівнює відношенню \(\frac{n_i}{h}\). Площа і-го прямокутника дорівнює \(\frac{h\cdot n_i}{h}=n_i\). Отже, площа гістограми дорівнює сумі всіх частот, тобто обсягу вибірки.

Задача 4. Побудуйте гістограму частот для вибірки: 20, 24, 25, 26, 28, 29, 37, 38, 40, 41, 42, 21, 22, 30, 30, 32, 33, 35, 36, 39, 27, 27, 30, 31, 34, 34, 40, 40, 44, 44, 42, 39, 39, 37, 35, 35, розбивши проміжок від найменшого до найбільшого значення вибірки на 5 проміжків.

 

Розмах вибірки — це різниця між найбільшим і найменшим значеннями випадкової величини у вибірці.

Наприклад, якщо ряд даних має вигляд 2; 3; 3; 3; 5; 6; 6; 7; 9, то розмах вибірки буде R = 9−2 = 7.

Мода — це значення випадкової величини, що зустрічається частіше за інші. Позначається Mо.

Наприклад, у ряді 2; 3; 3; 3; 5; 6; 6; 7; 9 найчастіше зустрічається цифра 3. Отже, мода вибірки Mо = 3.

Медіана — це серединне значення впорядкованого ряду значень випадкової величини. Позначається Mе.

Наприклад, у ряді 2; 3; 3; 3; 5; 6; 6; 7; 9, у якому дев’ять членів, медіана — це число 5, що стоїть посередині, а в ряді 2; 3; 3; 3; 5; 6; 6; 7; 9; 12, у якому 10 членів, медіана — це середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині, тобто \(M_e=\frac{5+6}{2}=5,5\).

Середнім значенням вибірки (позначають \(\overline{x}\)) називається середнє арифметичне всіх чисел ряду даних вибірки.

\(\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\).

Або, якщо величина X задана таблицею розподілу за частотами, то

\(\overline{x}=\frac{x_1\cdot n_1+x_2\cdot n_2+...+x_n\cdot n_n}{n}\).

Наприклад,

хі

3

4

5

7

nі

5

2

2

1

Тоді, \(\overline{x}=\frac{3\cdot 5+4\cdot 2+5\cdot 2+7\cdot 1}{10}=4\).

 

Задача 5. Знайдіть розмах, моду, медіану й середнє значення ряду даних деякої випадкової величини X: 1; 1; 2; 2; 2; 3; 4; 4; 5.

Розв’язання.

Розмах: R = 5−1 = 4. Мода: Mо  = 2. Медіана: Mе = 2.

Середнє значення: \(\overline{x}=\frac{1+1+2+2+2+3+4+4+5}{9}=2\frac{2}{3}\).

Задача 6. Знайдіть розмах, моду, медіану й середнє значення сукупності значень випадкової величини X, заданої таблицею розподілу за частотами.

хі

-1

3

4

5

7

nі

2

3

4

4

1

 

Розв’язання.

R = 7 − (−1) = 8.

Mо1 = 4,       Mо2 = 5.

Якщо таблицю розподілу за частотами записати у вигляді варіаційного ряду, то ряд буде складатися з 14 числових значень, а саме: -1, -1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 7. Тому, \(M_e=\frac{4+4}{2}=4\).

\(\overline{x}=\frac{-1\cdot 2+3\cdot 3+4\cdot 4+5\cdot 4+7\cdot 1}{14}=3\frac{4}{7}\).

Задача 7. На уроці фізкультури учениці 11-го класу, стрибаючи у висоту, показали такі результати (у см): 90; 125; 125; 130; 130; 135; 135; 135; 140; 140; 140. Знайдіть моду, медіану й середнє значення цієї сукупності даних.

 

Розв’язання.         Mо1 = 135,   Mо2 = 140,   .

\(\overline{x}=\frac{90\cdot 1+125\cdot 2+130\cdot 2+135\cdot 3+140\cdot 3}{11}=129\frac{6}{11}\).