Тема. Види комбінацій тіл.

Призма, вписана в циліндр і описана навколо нього

Означення 1. Призмою, вписаною у циліндр, нази­вається така призма, у якої площинами основ є пло­щини основ циліндра, а бічними ребрами — твірні циліндра.

Якою має бути призма, щоб її можна було вписа­ти в циліндр?

Оскільки циліндр є прямим, то і призма має бути прямою, за означенням її ребра збігаються з твірни­ми циліндра; основою призми має бути многокут­ник, який можна вписати в коло.

Отже, якщо призма є паралелепіпедом, то обо­в'язково прямокутним, якщо в основі призми лежить трапеція, то ця трапеція — рівнобічна. Радіус кола основи циліндра є радіусом кола, описаного навколо многокутника основи призми.

Означення 2. Призмою, описаною навколо цилін­дра, називається призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічні грані дотикаються до циліндра.

Якою має бути призма, щоб її можна було описа­ти навколо циліндра?

Призма має бути прямою, в її основі повинен ле­жати многокутник, у який можна вписати коло. Якщо це чотирикутник, то суми його протилежних сторін рівні. Якщо цей многокутник — паралелограм, то обов'язково — ромб. Радіус кола основи циліндра є радіусом кола, вписаного в основу призми.

Оскільки навколо довільного трикутника і будь-якого правильного многокутника можна описати коло і в будь-який трикутник та правильний многокутник можна вписати коло, то будь-яку пряму трикутну і будь-яку правильну призму можна вписати в циліндр і описати навколо нього.

Піраміда, вписана в конус і описана навколо нього

Означення 3. Пірамідою, вписаною в конус, нази­вається така піраміда, основою якої є многокутник, вписаний у коло основи конуса, а вершиною — вер­шина конуса.

Бічні ребра піраміди, вписаної в конус, є твірни­ми конуса, тому вони рівні. Висоти конуса і піраміди збігаються на основі єдиності прямої, перпендику­лярної до площини і проведеної через точку, що не лежить у даній площині. Отже, вершина піраміди лежить на перпендикулярі, проведеному через центр описаного навколо многокут­ника основи кола, тому всі бічні ребра рівні і утворюють з основою та висотою піраміди однакові кути.

Означення 4. Пірамідою, описаною навколо кону­са, називається піраміда, в основі якої лежить мно­гокутник, описаний навколо основи конуса, а вер­шина збігається з вершиною конуса.

Площини бічних граней описаної піраміди є дотич­ними площинами до конуса, тому лінією дотику є пря­ма, якій належить висота бічної грані піраміди, що збігається з твірною конуса. Радіус вписаного в основу піраміди кола перпендикулярний до сторін многокут­ника, який лежить в основі піраміди і є проекцією твірної конуса на площину основи. Всі бічні грані піра­міди мають рівні висоти і утворюють з основою рівні дво­гранні кути.

Отже, будь-яку правильну піраміду і піраміду з рівними ребрами та кутами, які бічні ребра утворюють з осно­вою піраміди, можна вписати в конус.

Будь-яку правильну піраміду і піраміду з рівними дво­гранними кутами при основі або рівними висотами бічних граней можна описати навколо конуса.

Задача 1. У циліндр вписано трикутну призму. АС = 12 cм, BC= 16 см, висота призми дорівнює 10 см. Знайти площу бічної поверхні циліндра.

Розв'язання

Призму вписано в циліндр, тому Δ АВС є вписа­ним у коло, центр якого за умовою лежить на сто­роні АВ трикутника. Отже, Δ АВС — прямокутний, АВ — його гіпотенуза, а радіус основи циліндра дорів­нює радіусу описаного навколо Δ АВС кола, тобто \(\frac{1}{2}\)АВ.  АВ = 20 см, бо сторони даного трикутника пропорційні до сторін єгипетського трикутника. Тому радіус основи циліндра R = 10 см. Висота циліндра дорівнює висоті призми, тобто 10 см. Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою S_б = 2πRH .

Отже, S_б = 2π·10·10 = 200π (см²).

Відповідь. S_б = 200π см².

 

Задача 2. Піраміду SABC вписано в конус. Що можна сказати про вид трикутника АВС? Назвати кути, які утворюють твірні з площиною основи конуса. Що можна сказати про міри цих кутів? Знайти радіус кола основи конуса, якщо <ACB = α і АВ = а.

Розв'язання

Піраміду вписано в конус, основою О його висо­ти є центр описаного навколо Δ АВС кола. Точка О (за умовою) лежить поза трикутником, тому Δ АВС тупокутний, <АСВ — тупий. SO  (АВС) . ОС є про­екцією SC на площину АВС, тому кут, який утворює твірна SC з основою, є <SCO. Аналогічно твірні SA і SB утворюють з основою кути SAO і SBО, всі ці кути рівні між собою.

Радіус основи конуса дорівнює радіусу кола, опи­саного навколо ΔАВС, тобто \(R=\frac{AB}{2sinACB}=\frac{a}{2sin\alpha}\).

Відповідь. \(R=\frac{a}{2sin\alpha}\).

Тема. Многогранники і тіла обертання, вписані в кулю.

Многогранник, вписаний у кулю

Означення 1. Многогранник називається вписаним у кулю, якщо всі його

вершини лежать на поверхні кулі. Тоді куля є описаною навколо многогранника.

Площина кожної грані многогранника перетинає кулю по кругу, тому кожна грань має бути многокут­ником, який можна вписати в коло.

 

Коли можна вписати в кулю призму?

У кулю можна вписати призму, в основі якої ле­жить многокутник, навколо якого можна описати коло. Призма має бути прямою. Будь-яку пряму трикутну і будь-яку правильну призму можна вписати в кулю.

Де лежить центр кулі, описаної навколо призми?

Шуканий центр кулі є точкою, рівновіддаленою від усіх вершин призми. Геометричне місце точок, рівновіддалених від усіх вершин нижньої (верхньої) основи призми, є перпендикуляр до цієї основи, що проходить через центр кола, описаного навколо неї. Основи призми рівні, тому площини їх перерізів ле­жать на однаковій відстані від центра. Отже, центр кулі, описаної навколо призми, є серединою відрізка, проведеного перпендикулярно до її основ з кінцями у цен­трах кіл, описаних навколо цих основ.

 

Коли можна вписати в кулю піраміду або кулю описати навколо піраміди?

Основою піраміди має бути многокутник, навко­ло якого можна описати коло. Центр кулі є точкою, рівновіддаленою від усіх вершин піраміди, тому він лежатиме на перпендикулярі, проведеному до мно­гокутника основи через центр описаного навколо нього кола. Якщо всі бічні ребра піраміди рівні або нахилені до основи під однаковими кутами, то висо­та піраміди лежатиме на цьому перпендикулярі.

Геометричне місце точок простору, рівновіддале­них від кінців ребра, є площина, що проходить пер­пендикулярно до цього ребра через його середину. Отже, центр кулі, описаної навколо піраміди, є точкою перетину перпендикуляра, проведеного через центр опи­саного навколо многокутника основи кола, і серединно­го перпендикуляра до бічного ребра, проведеного в пло­щині, що проходить через перпендикуляр до основи піра­міди.

Очевидно, що будь-яку трикутну і будь-яку пра­вильну піраміду можна вписати в кулю.

Зауваження. Під час розв'язування задач достатньо вказати положення центра кулі без її зображення.

 

Задача 2. У кулю вписано правильну трикутну піра­міду з бічним ребром l, що нахилене до основи піра­міди під кутом α . Знайти площу поверхні кулі.

Розв'язання

Оскільки піраміда правильна, то центр О кулі є точкою перетину висоти DO і серединного перпенди­куляра LΟ до бічного ребра DA у площині ADK.

У DLO: <DLO=90º, <LOD=α, LD=\(\frac{1}{2}\)l,

OD – радіус кулі. \(OD=\frac{l}{2sin\alpha}\); S_сф. = 4πR²;

\(S_{сф.}=4\pi\frac{l^2}{4sin^2\alpha}=\frac{\pi l^2}{sin^2\alpha}\)

Відповідь. Площа поверхні кулі \(\frac{\pi l^2}{sin^2\alpha}\).

Тіла обертання, вписані у кулю

Якщо обертати прямокутник, вписаний у коло, навколо осі, перпендикулярної до основи, одержимо циліндр, вписаний у кулю.

Якщо обертати рівнобедрений трикутник, вписа­ний у коло, навколо осі, перпендикулярної до осно­ви, одержимо конус, вписаний у кулю.

Розв'язуючи задачі, можна виконувати тільки зоб­раження осьового перерізу одержаної фігури. Поло­ження центра кулі визначається аналогічно до того, як це робили, визначаючи центр кулі, описаної на­вколо призми (піраміди).

 

 

 

 

 

Тема. Куля, вписана у многогранник або тіло обер­тання.

Куля, вписана в многогранник

Означення. Куля називається вписаною у много­гранник, якщо її поверхня дотикається до всіх гра­ней многогранника.

Многогранник у такому разі називається описа­ним навколо кулі.

Якщо кулю вписано в пряму призму, то висота призми дорівнює діаметру кулі. Центром кулі є сере­дина відрізка, що сполучає центри кіл, вписаних у основи призми.

 

Куля, вписана в піраміду

Центр кулі рівновіддалений від усіх його граней, тобто є точкою перетину півплощин, які проведені через ребра двогранних кутів, утворених двома суміж­ними гранями, і ділять цей кут навпіл. Якщо піраміда правильна, то всі двогранні кути при основі та всі двогранні кути, утворені суміжними бічними граня­ми, — рівні. Висота піраміди проходить через центр вписаного в основу піраміди кола. Центр кулі є точ­кою перетину висоти з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при основі піраміди, утвореного апофемою і радіусом вписаного в основу піраміди кола.

 

Куля, вписана в циліндр (конус)

Якщо обертати круг, вписаний у квадрат, навколо осі симетрії цієї фігури, то утвориться куля, вписана в циліндр. Циліндр, у який вписано кулю, — рівносторонній. Центр кулі є серединою відрізка, що спо­лучає центри верхньої і нижньої основ циліндра.

Якщо обертати рівнобедрений трикутник з вписа­ними у нього колом навколо осі симетрії, то утво­риться конус, у який вписано кулю. Центром кулі, вписаної в конус, є точка перетину його висоти з бісек­трисою кута нахилу твірної до основи конуса.

Розв'язуючи задачі на комбінації кулі з круглими тілами, доцільно розглядати не всю конструкцію, а лише її осьовий переріз.

 

 

Задача 3. Кулю вписано в конус. Радіус основи конуса дорівнює 6 см, висота — 7 см, а твірна дорів­нює 8 см. Знайти об'єм кулі.

Розв'язання

ΔΑВD — осьовий переріз конуса, ΜΑ — радіус його основи, DM — висота конуса, DA — його твірна.

AM — проекція AD на площину основи конуса, тому ∠DAM є кутом нахилу твірної DA до основи. У площині DAM проведемо бісектрису АО кута DAM. Вона перетне висоту DM у точці О, яка і є центром вписаної в конус кулі.

ОМ\(\perp\)А В , ОМ — радіус кулі. За властивістю бісектриси DO : ОМ = AD : AM.

ОМ = r, DO = 7 - r, тому \(\frac{7-r}{r}=\frac{8}{6}\) , r = 3 см.

Об'єм  V кулі, вписаної в конус, знайдемо за фор­мулою: V = \(\frac{4}{3}\)πr³, де r – радіус кулі.

V=\(\frac{4}{3}\)π·3³ =36π (см³).

Відповідь. V = 36π см³.